Matematikou proti covidu. Jak se modeluje vývoj pandemie

Matematické modelování vývoje nemoci covid-19 ovlivňuje podobu pandemických opatření. Ta jsou však až výslednicí složitých výpočtů, ze kterých se veřejnosti prezentuje jen křivka grafu. Jak fungují modely, které ve svém boji proti onemocnění epidemiologové používají?

Modely popisující dynamické jevy ve společnosti jsou komplikované a vyžadují velké množství vstupních dat. „Žádný není vyloženě správný, každý je jen abstrakcí reality. Problém je samozřejmě v tom, že budoucnost neznáme, a tak jakoukoli prognózu děláme jen na základě předpokladů," popisuje nejistotu spojenou s předpovídáním nemoci Luděk Berec z Biologického centra AV ČR. Jeden ze sedmadvaceti odborníků z Centra pro modelování biologických a společenských procesů (BISOP), kteří mapují vývoj pandemie.

Obecný model SEIR
Jedním ze základních epidemiologických nástrojů používaných k mapování infekčních nemocí je model SEIR. Jeho jméno je odvozeno od proměnných, které do výpočtu vstupují.

Hodnota S představuje počet osob náchylných k infekci (susceptibles). Hodnota I počet osob, které se stanou infekčními a šíří virus dál (infectious). Za hodnotou R se skrývá množství vyléčených, co už nemoc nešíří (recovered). V případě mapování covidu-19 do hry vstupuje také proměnná E. Ta zohledňuje fakt, že mezi infekcí a počátkem infekčnosti existuje významná časová prodleva.

Epidemiologický SEIR model je takzvaně kompartmentový, protože populaci třídí do určitého počtu kategorií (anglicky compartment). Mezi nimi se pak části populace přesouvají.

Aby mohli vědci model co nejpřesněji kalibrovat, vytvořili nástroj nazvaný SEIR filter. Ten pomáhá ze statistických dat odstranit šum a nežádoucí efekty. Alternativně pak používají nástroj zvaný Approximate Bayesian Computation. Pomocí něj modelují různé epidemické scénáře a vybírají z nich ty, které nejlépe popisují dosavadní průběh epidemie. Ty pak slouží pro další odhady vývoje.

Kompartmentový model SEIR se používá mimo jiné pro výpočet efektivity vakcinačních scénářů. Na základě reálných dat poskytnutých Ústavem zdravotnických informací a statistiky ČR vznikají modely, které předpovídají, jak se do nemocnosti promítne použití nové vakcíny, snížení věkové hranice pro očkování nebo zavedení posilujících třetích dávek. Podobně slouží také k výpočtu toho, jak se šíření nemoci dotkne postupně klesající imunita vyvolaná očkováním.

Virtuální město v modelu M
K predikci šíření nákazy na detailnější struktuře společnosti matematikové používají model virtuálního města. Hovoří se o takzvaném agentově orientovaném modelu M. Ten sleduje chování soběstačných jednotek (agentů), obyvatel fiktivního města.

V modelu jich je v současnosti kolem 56 tisíc. Agenti tvoří komplexní síť asi 2,7 milionů sociálních kontaktů. Prvním úkolem při modelování je najít a popsat vztahy a interakce v populaci, které mohou sloužit jako pravděpodobné kanály pro přenos nemoci. V potaz se berou nejen vazby dlouhodobé, rodina či práce, ale i krátkodobé kontakty během nákupů a transportu.

Namodelovaná dynamická síť, jakási pavučina, je tvořena uzly. Představují obyvatele města a jednotlivá vlákna pak vztahy mezi nimi. Čím složitější síť je, tím je obvykle přenos infekčních nemocí snazší. V takovém virtuálním městě je následně spuštěn algoritmus SEIR modelu, který vypočítá šíření covidu-19 a odhalí ta nejrizikovější prostředí. Vědci také projektují, jak se do dynamiky šíření promítne změna vztahů v síti, když se omezí pohyb obyvatel, uzavřou některé instituce nebo zavede práce z domu.

V modelu města M se v současnosti počítá s 56 tisíci obyvateli s 2,7 miliony sociálních kontaktů.

Model M pro šíření ve školách
Model M se uplatňuje také pro sledování vývoje nemoci na školách. Z dat získaných pomocí online průzkumu vědci vytvořili strukturu interakcí mezi žáky a učiteli, která zahrnuje na 624 školáků a 55 zaměstnanců školy. Mapuje se zde celkem asi 27 tisíc sociálních kontaktů. Interakce se rozdělují do deseti vrstev podle prostředí, ve kterém k nim dochází a odráží strukturu typické základní školy (třída, jídelna, družina). Do takové sítě pak opět vstupuje upravený SEIR model, který mapuje šíření covidu-19 mezi školním personálem a studenty.

Model H pro nemocnice a zdravotnické instituce
Výsledky modelu H (z anglického výrazu hospital) predikují změny v počtu hospitalizovaných pacientů. Cílem je předpovídat, kolik z nich bude mít těžký průběh nemoci a také odhadovat pravděpodobný počet úmrtí. To v praxi umožňuje efektivnější distribuci pacientů a lepší koordinaci zdravotnického vybavení a péče. Model H je také rozšířená varianta výše popsaného SEIR modelu a počítá s osobami, které vykazují různou míru vážnosti průběhu nemoci.

Výpočet modelu sleduje cestu pacienta od prvních příznaků až po jeho uzdravení. Poměrná část z nakažených je hospitalizována s těžším průběhem nemoci a zbývající část je poslána do domácí izolace. Ti, kteří zůstávají v nemocnicích, se pak dělí na další skupiny. Na pacienty, kterým stačí běžné lůžko, či vyžadují intenzivní péči a pak na ty, kteří se po čase v nemocnici uzdraví, nebo nemoci podlehnou.

Notoricky známé číslo R
Každá známá infekční nemoc má svou vlastní hodnotu základního reprodukčního čísla, která se označuje jako R₀. Udává, kolik lidí jeden nakažený v průměru infikuje v plně vnímavé (tedy neimunizované) populaci, když nejsou zavedena žádná opatření a nic nebrání viru v šíření.

Kupříkladu kmen viru Ebola, na který v roce 2014 v západní Africe podlehlo přes 11 tisíc lidí, má R₀ rovno 1,8. Naproti tomu index vysoce nakažlivých spalniček se v některých případech zastavuje až u hodnoty 18. Varianta alfa viru SARS-CoV-2, tedy ta, která se prvně objevila před rokem ve Spojeném království, má R₀ o hodnotě 4–5.

Pro matematickou předpověď vývoje nemoci je podstatnější číslo označované R_, takzvané efektivní reprodukční číslo. Právě to určuje, kolik dalších osob se od jednoho přenašeče průměrně nakazí v určitém čase. Udává rychlost šíření viru v populaci za aktuálních podmínek.

Pokud je R menší než jedna, epidemie oslabuje a infekce se šíří pomaleji. Pokud se jeho hodnota rovná 2, každý nemocný nakazí průměrně dva další. „Vypočítat reprodukční číslo z dat je obecně komplikované. Existuje však celá řada metod, jak toto číslo odhadnout. Jedna z těchto přibližných metod se využívá i pro výpočet, který pravidelně reportuje Ústav zdravotnických informací a statistiky ČR,“ podotýká Luděk Berec. Přesný výpočet musí zahrnovat nejen počty nově infikovaných, ale také bezpříznakové jedince. Bere se zřetel na chování viru i nakaženého během celé infekční periody.

Pro modelování přesnějšího vývoje varianty omikron v současnosti chybí data.

Současné modely a varianty viru
Modelování pandemie je stejně tak dynamická disciplína jako vývoj samotné nemoci. Každá varianta covidu-19 má specifickou nakažlivost, pravděpodobnost těžkého průběhu nebo pravděpodobnost, že překoná vakcinační nebo post-infekční imunitu.

S nástupem nových variant onemocnění se mění vstupní hodnoty a parametry modelů. „Na jakýkoli specificky kalibrovaný model není možné se spoléhat dlouhodobě, zvláště pokud dochází ke kontinuálním změnám v systému testování, opatření a virových variant. Obecně se dynamika epidemie nejlépe predikuje krátkodobě, při jejím růstu či poklesu. Největší nejistota je zase při predikci bodu zlomu a výšky epidemické vlny,“ upozorňuje Luděk Berec a dodává, že pro mapování varianty omikron máme stále omezené znalosti. „Pro predikce omikronové vlny používáme v současnosti ještě jiné, velmi jednoduché modely. Vzhledem k řadě nejistot však slouží spíše pro ilustraci a hrubé odhady,“ uzavírá. Data týkající se nových mutací tak přinese až blízká budoucnost.

Více o pandemii covidu-19 jsme psali zde:

Přehledně: Typy vakcín proti covidu-19, jejich fungování a účinnost
Přehledně: Čtyři druhy testů na přítomnost koronaviru SARS-CoV-2
Přehled: Jak Akademie věd ČR pomáhá v době pandemie covidu-19

Text: Jan Hanáček, Divize vnějších vztahů SSČ AV ČR
Foto: Shutterstock

 Text je uvolněn pod svobodnou licencí Creative Commons.

Přečtěte si také

• Paraziti jsou podle mě nádherné organismy, říká Julius Lukeš
• O myších a lidech. Vědci zjistili souvislosti migračních tras člověka a myši
• Svůj svátek slaví i včely. Jaká je role opylovačů v krajině a co je ohrožuje?
• Evoluce věčně živá. V čem tkví podstata biologické rozmanitosti?
• Pozor na klíšťata v městských parcích, jsou nebezpečná, varují odborníci
• Unikátní rozmnožování skokanů z Moravy potvrdili vědci i u dalšího druhu žáby
• Embrya parazitických ryb hořavek se naučila přemet, který jim umožňuje přežít
• Na světě klesá počet velkých šelem – vymírání čelí například levharti
• Vědec chce rozlousknout záhadu rozmanitosti přírody za pomoci mušek octomilek
• Rostliny se mohou přizpůsobit klimatickým změnám, aniž by změnily svoji DNA